Математические фокусы

Правильная сумма

У вас в руке два игральных кубика. Бросьте их на стол. Нижние грани кубиков вам не видны. Возьмите кубики и покажите эти грани зрителю. Пусть он сложит невидимые вам очки. Отложите кубики в сторону и правильно назовите искомую сумму двух нижних граней.
Для этого вам нужно знать, что на игральных кубиках сумма противоположных сторон всегда равна семи. Если с одной стороны 2 очка, значит, с другой — будет 5. Вам видна верхняя сторона кубиков.
Допустим, с вашей стороны 4 и 1, то есть в сумме — 5. А общая сумма двух противоположных сторон на обоих кубиках равна 14. Значит, чтобы назвать сумму, известную зрителю, от 14 отнимите 5. Назовите ее — 9. Ведь на гранях кубике, которые видел зритель, было 3 и 6 очков.

Валерий Постолатий. «Веселая магия» (М., «Панорама», 1992)

 

Угадай возраст

Объявите вашим зрителям:
— Я могу угадать ваш возраст, настроившись на волну ваших мыслей!
Затем попросите одного из зрителей подойти к вам и загадать любое число. Пусть он запишет его, не показывая вам. Для удобства можно ограничиться трехзначным числом, однако это не принципиально, так как можно пользоваться калькулятором.
Далее попросите зрителя умножить задуманное число на 9. А затем прибавить к получившемуся числу свой возраст. Пусть зритель запишет результат, чтобы не забыть.
Затем вы говорите:
— Я не знаю ни числа, которое было загадано, ни вашего возраста. Но чтобы настроиться на волну ваших мыслей, мне нужно узнать последнее число, которое у вас получилось.
Зритель называет вам это число.
Далее вам нужно произвести в уме несколько вычислений. Чтобы зрители не догадались, чем вы занимаетесь, сделайте вид, что вы «настраиваетесь на волну мыслей» зрителя, который стоит перед вами: например, закройте глаза и вытяните руки в направлении его головы, или ходите вокруг него, делая пассы руками, или приложите палец ко лбу — что подскажет ваша фантазия.
Вычисления, которые вам нужно произвести, несложные. Прежде всего нужно сложить цифры числа, которое назвал вам зритель. В результате получится еще одно число. Повторяйте с получающимися числами операцию сложения их цифр до тех пор, пока не получится однозначное число.
Возраст зрителя будет кратным 9 плюс то число, которое вы получили. Ваша задача теперь — оценить, на сколько лет выглядит ваш зритель. Допустим, в результате всех сложений у вас получилось число 5. Вашему зрителю может быть (1х9 + 5)=14 лет, (2х9 + 5)=23 года и так далее. Не так уж сложно отличить 14-летнего от 23-летнего, не правда ли?
Если вы не уверены относительно возраста зрителя, особенно если это человек средних лет, то ни коем случае не стоит угадывать «с запасом», лучше, наоборот занизить его возраст. Например, вы не уверены, 42 года человеку (9х4+6) или 51 (9х5+6). Говорите, что 42! Если вы ошибетесь, всегда можно сказать: «Простите, я ошибся, ориентируясь не на волну ваших мыслей, а на внешность! Вы выглядите на 42 года!» Фокус не удастся, зато вы сделаете зрителю приятное, а это гораздо важнее, чем эффектный трюк.

Примеры
Ваш зритель загадал число 5645. После умножения на 9 получилось 50805. Далее он прибавляет к этому числу свой возраст — допустим, ему 23 года. Получится 50828. Проводим операцию сложения: 5+0+8+2+8=23. Получилось двузначное число. Повторяем операцию сложения еще раз: 2+3=5. В результате получилось однозначное число, так что на этом операции сложения завершаем.
Дальше вычисляем и смотрим: этому человеку может быть 9х1+5=14 лет? Конечно, нет, он не выглядит, как подросток. Продолжаем подбирать: 9х2+5=23. Похоже! И мы объявляем ему его возраст.
Другой пример. Ваш зритель объявляет вам число 89. 8+9=17, 1+7=8. Ваш зритель на вид — ученик начальных классов. Сколько же ему лет? Очень просто: ему 9х0+8 = 8 лет! (а число, которое он загадал — 9).

Как это работает
Цифра 9 обладает уникальными свойствами: например, любое число, умноженное на 9, дает число, сумма цифр которого равна 9.

Пример. Умножим число 7721 на 9. Получим 69489. Сумма цифр этого числа — 6+9+4+8+9=27.
Более того, сумма цифр получившегося числа может быть приведена к 9. В нашем примере получилось число 27, сумма цифр которого как раз равна 9.
В данном фокусе зритель загадывает число и умножает его на 9. Тем самым он практически устраняет задуманное им число и сводит его к 9. Когда он прибавляет к нему свой возраст, а вы сводите результат к единственной цифре, то эта цифра плюс некое число, кратное 9, и есть его возраст. Прибавьте 9 к полученной цифре. Если это не дает разумного результата, прибавляйте по 9, пока не получите возраст, на который выглядит ваш зритель.

 

Угадывание числа

Для этого фокуса лучше всего вооружиться калькулятором. Но если вы и ваши зрители быстро считаете в уме, можно обойтись и без счётной машины.
Предложите другу загадать число. Пусть он его запишет и уберёт листок, не показывая числа вам. Затем дайте ему калькулятор и попросите выполнить по очереди следующие операции.

  1. Ввести загаданное число.
  2. Умножить его на 2.
  3. Прибавить 4.
  4. Разделить на 2.
  5. Прибавить 7.
  6. Умножить на 8.
  7. Вычесть 12.
  8. Разделить на 4.
  9. Вычесть 11.

После этого заберите у друга калькулятор с последним полученным числом. Вычтите из него 4, а потом разделите результат на 2.
Покажите другу результат на дисплее — это число, которое он задумал! Пусть друг достанет листок с записанным числом и покажет его остальным зрителям, чтобы все в этом убедились.
В чём же секрет фокуса? Давайте обозначим число, которое задумано, как х, и составим выражение со всеми вычислениями, которые мы выполняем в этом фокусе.
Данное выражение будет выглядеть так:

Упрощаем это выражение и получаем:

Что и требовалось доказать!

 

Заколдованная девятка

«Колдовство» этого фокуса заключается в том, что в результате ряда определенных вычислений с любыми числами всегда в итоге получается 9.
Для фокуса понадобится калькулятор, поскольку нам придётся проводить вычисления с четырёхзначными числами.

  1. Придумай четырёхзначное число, в котором все цифры отличаются.
  2. Переставь цифры так, чтобы получилось максимально возможное число.
  3. Теперь переставь цифры так, чтобы получилось наименьшее из возможных чисел.
  4. Вычти из наибольшего числа наименьшее.
  5. Запиши результат и нажми кнопку стирания на калькуляторе.
  6. В полученном числе сложи все цифры.
  7. Если получилось двухзначное число, сложи цифры ещё раз.

У тебя получится 9!
Пример. Возьмём число 1234. Максимально возможное число, которое можно составить из его цифр — 4321, минимальное — 1234. Разность этих чисел равна 3087. Складывая цифры полученного числа, получаем 18. Сумма цифр, из которых состоит число 18, равна 9.

 

Сложение многозначных чисел

Сложение чисел — одна из простейших операций, особенно, если числа однозначные. Но когда нужно складывать многозначные числа — дело усложняется. Только не для Вас, ведь Вы знаете математическую «магию».
Итак, попросите того, с кем Вы решили посоревноваться в скорости счета, написать несколько чисел с одинаковым количеством знаков. Чем больше — тем лучше. Потом припишите к этому длинному ряду чисел свои. Затем предложите сложить все числа на скорость. Чтобы победить в этом соревновании — нужно знать  секрет.
Вот он: написанные Вами числа должны состоять из таких цифр, чтобы каждая из них дополняла цифры в числах вашего оппонента до девяти. Если количество написанных чисел x, а количество цифр каждого числа — y, то искомую сумму находим по формуле x*(10y — 1). Если одно из чисел состоит из одних девяток, то дополнительного числа к нему приписывать не надо.

Пример
2545, 5674, 6784, 7640 (7454, 4325, 3215, 2359)
4*(104-1)=39996

 

Возведение во вторую и большие степени

Как вы, наверное, знаете, квадрат числа — это заданное число, умноженное само на себя. Например, квадратом 7 будет 7 × 7, то есть 49. Позже я научу вас простому способу, который позволит без труда вычислять квадрат любого двузначного и трехзначного (и состоящего из большего количества знаков) числа.
Этот метод особенно легко применять, если число заканчивается на 5. Поэтому опробуем его прямо сейчас.

1. Ответ должен начинаться с результата умножения первой цифры возводимого в квадрат числа на цифру, большую на единицу, чем первая цифра.

2. Ответ заканчивается на 25.
Например, чтобы возвести в квадрат число 35, мы просто умножаем первую цифру (3) на 4, то есть на единицу большую цифру, после чего добавляем 25. Так как 3 × 4 = 12, следовательно, ответ — 1225. Таким образом, 35 × 35 = 1225. Проделанные шаги можно представить следующим образом:
35 × 35
3 × 4 = 12
5 × 5 = 25
Ответ: 1225
Как насчет возведения в квадрат числа 85? Так как 8 × 9 = 72, мы мгновенно получаем ответ: 85 × 85 = 7225.
Можно применить похожий прием при умножении двузначных чисел, начинающихся с одинаковых первых цифр, сумма вторых цифр которых равняется 10. Ответ будет состоять из числа, полученного с помощью вышеописанного метода (первая цифра умножается на цифру, на единицу большую), и произведения вторых цифр чисел, участвующих в умножении. Например, попробуем умножить 83 на 87. (Оба числа начинаются на 8, а сумма последних цифр 3 + 7 = 10.) Так как 8 × 9 = 72 и 3 × 7 = 21, ответ — 7221.
Подобным образом получаем из 84 × 86 = 7224.
Теперь ваша очередь. Попробуйте вычислить 26 × 24. С чего начинается ответ? С 2 × 3 = 6 . Чем заканчивается? 6 × 4 = 24. Значит, 26 × 24 = 624.
Помните, что использовать этот метод можно, только если первые цифры чисел одинаковы, а последние дают в сумме 10.

 

Как определить день недели 1 января любого года в XXI веке

Сначала ознакомьтесь с представленной таблицей.
Понедельник — 1
Вторник – 2
Среда – 3
Четверг – 4
Пятница – 5
Суббота – 6
Воскресенье – 7 или 0

Например, давайте выясним, каким днем недели будет 1 января 2030 года. Возьмите две последние цифры года и представьте себе, что это ваш счет в ресторане (в данном случае 30 долларов.) Теперь добавьте 25% чаевых, но излишки в центах оставьте себе. (Это можно вычислить, дважды разделив счет пополам и отбросив всю «мелочь». Половина от 30 равна 15, а половина от 15 — 7,50. Оставив излишки себе, получим чаевые в размере 7 долларов.) Отсюда следует, что ваш счет плюс чаевые составляет 37 долларов. Чтобы определить день недели, вычитаем из этой суммы наиболее близкое к ней (но не большее) произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, …) и получаем в результате порядковый номер дня. В данном примере, 37 – 35 = 2, значит, 1 января 2030 года приходится на второй день недели, то есть на вторник.

Какой день недели 1 января 2043 года?
Счет: 43
Чаевые: + 10 = 53
произведение цифры 7: – 49
4 = четверг

Исключение: если год високосный, уберите 1 доллар из суммы чаевых, высчитанных ранее. Например, для 1 января 2032 года 25% от счета на 32 доллара будут равны 8 долларам чаевых. Вычитание 1 дает в итоге 32 + 7 = 39. Вычитание наибольшего по отношению к сумме счета произведения 7 дает 39 – 35 = 4. Итак, 1 января 2032 года приходится на четвертый день недели, четверг.